第4章 4.健身计划

    第三十一道数学题——证明：当x→2时，lim（2x+3）=7（x→2在lim的正下方）。
    第二次见到证明题，炅烈恼得直嘬牙花子，上一次就因为一个证明题没有答对，就被扔进了人形恶吊的异世界，还差点被白人老头给枪毙了。
    这次说什么也要克服心理上的难关，炅烈紧紧握了下拳头，给自己加油打气。
    分析题目，证明极限存在问题，从字面上可以看出这道题再考炅烈对极限定义的理解。
    那什么是极限？极限分二种：数列极限和函数极限。而函数极限又分为x→a和x→∞两种。
    首先是数列极限，任取ε＞0，存在N＞0，当n＞N时，|an-A|＜ε，那么称数列｛an｝的极限为A。
    然后是函数的极限，函数极限引入了一个去心邻域的概念，先来回忆一下什么是去心邻域。
    领域是一个数集｛x|a-δ＜x＜a+δ，δ＞0｝，也就是|x-a|＜δ，记为U（a，δ），即a的δ领域。去心邻域是领域的一种特殊形式，特殊在哪里呢？顾名思义，它要去掉领域的中心，那（a-δ，a+δ）的中心是哪里？首尾相加除以2可得，中心是a，因此要把a去掉。
    证明表示呢？0＜|x-a|即可，又因为|x-a|＜δ，所以去心邻域的数集表达为｛x|0＜|x-a|＜δ，δ＞0｝，记为U（上多一小圆圈）（a，δ），即a的去心δ邻域。
    好了，去心邻域搞定，接下来的函数极限的的自变量取值范围就在这个去心邻域内搞定。
    同数列极限一样，任取ε＞0，存在δ，当0＜|x-a|＜δ时，如果有|f（x）-A|＜ε，则称函数在去心邻域内的极限存在，记为当x→0时，lim f（x）=A。（x→0在lim的正下方）。
    定义梳理完成，那么就开始着手分析题目。
    当x→2时，lim（2x+3）=7（x→2在lim的正下方）。
    不妨设极限就等于7，那么|f（x）-7|＜ε，|2x+3-7|=2|x-2|＜ε，则|x-2|＜ε/2，于是去心邻域找出来了，令δ=ε/2，则极限成立。
    至于为什么求取函数极限用去心邻域而不是领域，是因为函数的极限值跟函数值没有任何关系，极限只是一种趋势，趋势必然存在，而函数值不一定存在，兴许函数在某一点没有定义呢？
    酝酿下腹稿，炅烈在黑板上工整地写下答题步骤。
    证明：对任意的ε＞0，|f（x）-7|=|2x+3-7|=2|x-2|＜ε，则|x-2|＜ε/2，令δ=ε/2。任取ε＞0，存在δ=ε/2＞0，当0＜|x-2|＜δ时，|f（x）-7|＜ε，所以当x→2时，lim（2x+3）=7（x→2在lim的正下方）。
    答题完毕，必然做检验检查，一旦出错，之前的努力就成了无用功。
    检查无误后，炅烈点击提交按钮，然后静静地等待结果。
    3秒钟后审核结果公布，沙哑的声音响起：【答题正确，奖励艾特币1枚。下次出矿时间为一个小时后，请耐心等待。】
    这道题答完之后，炅烈有些口渴，手握61块巨额财产，是时候挥霍一下了。
    揉了揉酸痛的腰背，连续十几个小时的剧烈腰腹部运动，换一头牛也得累死，必须买点营养品补补了。
    “嗯，出新品了？第二饮料栏里，果汁后面出现了新的饮品——营养慢线，售价6。哦，这个自动贩卖机还是挺贴心哇，(⊙o⊙)…”
    咬咬牙，买了一瓶营养慢线，口袋里还剩下55块大洋。
    拧开盖，咕咚咕咚……
    “啊……爽到飞起！！！”
    浓郁的奶香迷漫口中，顺着鼻子眼往外冒，深深呼吸一口气，呵，连空气都是奶味的。
    乳白色的液体到达胃部，暖洋洋地，之前隐隐约约的饥饿感瞬间消失地无影无踪。
    炅烈感觉到体内有一股强大的气在四处乱窜，所到之处酸痛皆消，连胳膊上的牙齿印也被修补得无影无踪。
    “这钱没白花，正是物有所值哇。”炅烈舔了舔瓶盖，然后拧回瓶子，顺手扔进自动贩卖机右侧的垃圾回收箱。
    躺在四把椅子架成的小床上，炅烈枕着胳膊安稳地睡去。
    叮叮，第三十二道数学题在光幕上浮现——证明：当x→∞时，lim 【x2/（2x2+1）】=1/2（x→∞位于lim的正下方）。
    炅烈被刺耳的叮声吵醒，小声嘟囔了句，然后滚下小床，爬起来到光幕这边。
    扫了一眼题目，炅烈心想：怎么又是他母亲的证明题？
    按耐下心中的怒火，炅烈深呼吸，三分钟后勉强让自己冷静下来。他从来都不是一个好脾气的人，从他的名字上就能看出来，这家伙性如烈火，点火就着。
    分析题目，这道题与第三十一道第类似，区别是这道考察的是x→∞极限的定义。
    回忆下定义的概念，任取ε＞0，存在X＞0，当|x|＞X时，如果|f（x）-A|＜ε，则x→∞时函数的极限存在，且为A。
    从定义中可知，只要把所谓的X求出，即可证明这道题目。
    |f（x）-A|＜ε，则|x2/（2x2+1）-1/2|=|1/2（2x2+1）|=1/4|1/（x2+1/2）|＜ε，|1/（x2+1/2）|＜4ε，|x2+1/2|＞1/（4ε），|x2|＞1/（4ε）-1/2=（1-2ε）/（4ε），|x|＞√【（1-2ε）/（4ε）】，令X=√【（1-2ε）/（4ε）】，则极限得证。
    酝酿下腹稿，然后炅烈工整地将答题步骤写在黑板上。
    证明：对于任意的ε＞0，|f（x）-A|=|x2/（2x2+1）-1/2||1/2（2x2+1）|=1/4|1/（x2+1/2）|＜ε，化简得|x|＞√【（1-2ε）/（4ε）】，令X=√【（1-2ε）/（4ε）】。任取ε＞0，存在X=√【（1-2ε）/（4ε）】＞0，当|x|＞X时，|f（x）-A|＜ε，因此当x→∞时，lim 【x2/（2x2+1）】=1/2（x→∞位于lim的正下方）。
    检查一遍，然后炅烈点击提交按钮，静静等待。
    3秒钟后审核结果公布，沙哑的声音响起：【答题错误，你毛都没有得到，累积错题数量3/4。下次出矿时间为一个小时后，请耐心等待。】
    果然，炅烈捂住了脸。分析的时候就觉得有点不对劲，应该是X的取值上出了问题。
    我果然最讨厌证明题了，炅烈如是想道。
    抱最大的期望，尽最大的努力，做最坏的打算。
    错题一定会错的，为了应对接下来的一次生存挑战，炅烈决定先锻炼下身体。
    跟蛇门兑换了5万美金，然后缴纳了10枚艾特币，炅烈再次进入了人形恶吊世界。
    这一次他并不是在格林公园的厕所里出现的了，而是在魔女林赛的家里。
    走出厕所，炅烈瞄了一眼墙上的挂钟，9.00AM。
    “嗯？我离开的时间是8.00AM，证明现在才9.00AM，不应该是是10.00AM吗？难道自己离开的这段时间，这个世界的时间是静止的？”炅烈摸了摸下巴，然后被人一把从后面抱住。
    嗅到熟悉的玫瑰花香，炅烈苦笑了下，林赛回来了。
    “亲爱的你去哪里了，叫我一顿好找，我要惩罚你！”林赛一口咬在炅烈的脖子上，像一只缠人的吸血鬼。
    看来回去又得买一瓶营养快线了，炅烈看了眼小炅烈口袋里屈指可数的40枚艾特币，哀叹一声。
    抓住林赛继续探索自己身体的手，炅烈抵着她的额头道：“今天我身体不舒服，明天好伐。现在我想找个健身房锻炼一下身体，你能帮我一下吗？”
    “嗯？健身房？”林赛推开炅烈，然后上上下下打量了他一番，心想：肌肉线条确实不怎么明显，锻炼一下也好，说不定体验更棒呢？
    “好，什么时候去？”短暂地思考了下，林赛决定帮助炅烈。
    “越快越好，我等不及了？”炅烈搓搓手道。
    “我就喜欢你这猴急的样子，等我下，我换完衣服，咱们就出发。”林赛在炅烈的脸上啄了下，一溜烟地跑进换衣间。
    炅烈咽了一下口水，明明是你猴急好吧！
    直到炅烈的第三十三道数学题到来，林赛还没有从更衣室出来。女人呀，化妆好慢~
    设an=（-1）n，研究lim an（n→∞在lim的正下方）是否存在。
    分析该题可发现，这道题考察的是极限的性质中的定理4——列与子列的关系。
    如果一个数列的极限存在，则它任意子列的极限也存在且等于数列的极限。另外该定理还有一个推论，如果数列的奇子列和偶子列的极限都存在且等，那么数列的极限就等于子列的极限。
    如果要研究该题目数列的极限是否存在，只要研究其奇子列和偶子列极限的关系就可以了。
    a（2n+1）=（-1）（2n+1），（翻译：a下角标2n+1，-1的（2n+1）次方），解得lim a（2n+1）=-1（n→∞位于lim的正下方）。同理可得lim a（2n）=lim（-1）2n=1（n→∞位于lim的正下方）。
    因为奇子列和偶子列的极限存在但不相等，所以数列an的极限不存在。
    酝酿下腹稿，炅烈操纵着小炅烈在黑板上工整地写在解题步骤。
    解：lim a（2n+1）=lim（-1）（2n+1）=-1，lim a（2n）=lim（-1）2n=1，因为lim a（2n+1）≠lim a（2n），所以lim an不存在（n→∞位于lim的正下方）。
    检查后提交。
    3秒钟后审核结果公布，沙哑的声音响起：【答题正确，奖励艾特币1枚。下次出矿时间为一个小时后，请耐心等待。】
    存款41枚艾特币。
    当炅烈睁开眼，发现打扮得跟仙女似的林赛背着手一脸坏笑地盯着自己。
    “你又在变魔术？”林赛好奇地问道。
    炅烈擦了擦脑门上的汗，否认道：“不，我是在想象成为肌肉男之后的样子。”喜欢矿坑下请大家收藏：(663d.com)矿坑下六六闪读更新速度最快。到六六闪读（www.663d.com）
    看剑来